処理中にアプリを開いたままにする必要はありますか？

いいえ。タスクを送信するとキューに入り、サーバー上で実行されるため、アプリやブラウザを閉じても大丈夫です。

進捗は戻ってきたときに履歴に表示されます。また、設定でメール通知がオンになっていれば、タスク完了または失敗時にメールが届きます。